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 通解分解, 由于臂架頂端的動(dòng)力學(xué)邊界條件，使得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程不是齊次方程組。而針對(duì)該偏微分方程的解，可以假設(shè)包括一個(gè)齊次部分(ＲH)和一個(gè)非齊次部分(ＲⅠ)，Ｒ(z，t)=ＲⅠ(z，t)+ＲH(z，t)   針對(duì)變截面梁模型，可以進(jìn)一步得到，Ｒi(z，t)=Ｒi，Ⅰ(z，t)+Ｒi，H(z，t)，齊次部分必須既滿足偏微分方程和齊次邊界條件，非齊次部分只滿足非齊次邊界條件。分離變量根據(jù)系統(tǒng)具有與時(shí)間無關(guān)的確定振型的特性，故仍可采用分離變量法解梁的橫向彎曲振動(dòng)問題。針對(duì)齊次微分方程的解，采用分離變量表示為Ｒi，H=T(t)Zi(z)(26)式中，T(t)為只與時(shí)間相關(guān)的函數(shù)，Zi(z)為只與空間相關(guān)的函數(shù)。其中ωn為常數(shù)時(shí)，方可使式(28)成立，且ωn與不同頻率下的Tn(t)和Zi，n對(duì)應(yīng)。整理式(28)可得時(shí)間相關(guān)函數(shù)有T··n(t)+ω2nTn(t)=0(29)空間相關(guān)函數(shù)有ZⅣi，n(z)－λi，nZi，n(z)=0(30)式中特征值λi，n定義為λi，n=ω2nηi，n≥1表示頻譜階數(shù)。以上矩陣取決于未知的特征值λi，n，i=1，…，N。對(duì)于n段梁的情況，矩陣Mn為4n×4n的方陣，而當(dāng)段數(shù)N=1時(shí)，矩陣Mn退化為Mn=B1BN，[]n是4×4方陣，只有邊界條件子矩陣，表示末端具有質(zhì)量的均質(zhì)懸臂梁，是分段梁模型的一個(gè)特例。當(dāng)各段梁的屬性EIi和ρAi已知時(shí)，可根據(jù)特征值與特征角頻率ωn之間的關(guān)系，將各段梁的特征值統(tǒng)一由第一段梁的特征值表示λi，n=ηiη1λ1，n=AiA1I1Iiλ1，n(48)式(43)有非零解的條件是detMn=0(49)當(dāng)梁的分段段數(shù)N越大，矩陣Mn的階數(shù)越大，由于振型函數(shù)包括三角函數(shù)與雙曲函數(shù)，式(49)可整理為復(fù)雜的超越方程，無法得到解析解�？赏ㄟ^Math-ematica中FindＲoot函數(shù)在指定區(qū)間求式(49)的數(shù)值解，得到對(duì)應(yīng)頻率的特征值λi，n，結(jié)合式(48)，可以得到各段λi，n的數(shù)值解，從而得到系數(shù)向量pn，進(jìn)而得到各段梁的特征函數(shù)即振型函數(shù)Zi，n。結(jié)合由式(29)得到的時(shí)間相關(guān)函數(shù)Tn(t)，可得到齊次解為Ｒi，H=∑∞n=1Zi，nTn(t)(50)2．3非齊次解偏微分方程式(5)的解假設(shè)為齊次解和一個(gè)非齊次微分方程解的和。非齊次解只符合連續(xù)條件和非齊次邊界條件，但并非控制微分方程所必須。非齊次解假設(shè)為Ｒi，Ⅰ=fi(z)u(t)=fi(z)θ(t)(51)假設(shè)由式(17)推導(dǎo)出的非齊次偏微分方程在z=L處成立，得到非齊次邊界條件，非齊次解也必須符合連續(xù)性條件。在此假設(shè)下，可以得出fi(z)=z是該問題的特解，其滿足所有邊界條件和連續(xù)性條件。

     主坐標(biāo)下振動(dòng)方程求解與多自由度系統(tǒng)的振型疊加法類似，對(duì)于變截面梁的動(dòng)位移可以由主坐標(biāo)平面內(nèi)的振型函數(shù)與權(quán)函數(shù)表示。首先，定義主坐標(biāo)下展開形式。令h∈H，則函數(shù)h(z)可以展開成廣義傅立葉級(jí)數(shù)的形式h(z)=∑∞n=1h*nZn(z)(58)其中Zn(z)是歸一化的特征函數(shù)由Zn(z)Zn(z)/Zn(z)定義。系數(shù)h*n(z)由h*n(z)=〈h(z)，Zn(z)〉定義。對(duì)級(jí)數(shù)展開兩端求內(nèi)積，并根據(jù)特征函數(shù)的正交性可，Zk(z)〉=h*k(59)針對(duì)運(yùn)動(dòng)方程式(17)在主坐標(biāo)下逐項(xiàng)進(jìn)行廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開。對(duì)于每一段梁有ρA(z)=ρAi，z∈Δi可得Ｒ··H(z，t)+1ηiＲⅣH(z，t)=－Ｒ··I(z，t)－1ηiＲⅣI(z，t)對(duì)各項(xiàng)求得展開系數(shù)為Ｒ··*H，n(t)、ω2nＲ*H，n(t)令非齊次解ＲI(z，t)為ＲI=f(z)u(t)在主坐標(biāo)下表示為 對(duì)微分項(xiàng)做相同處理可得運(yùn)動(dòng)方程式.  由于解Ｒ(z，t)是齊次與非齊次解之和，在主坐標(biāo)下可以表示為Ｒ*n(t)=Ｒ*H，n(t)+f*nu(t)可得主坐標(biāo)下各階振動(dòng)方程.  如果考慮結(jié)構(gòu)自身阻尼，則可進(jìn)一步得到，Dn為各階的阻尼系數(shù)，可由實(shí)驗(yàn)或根據(jù)計(jì)算得到。

      利用求得的各階固有頻率和振型函數(shù)，代入式(61)和(62)可得各階振動(dòng)方程式(64)中的參數(shù)f*n和fⅣ*n。由于第三階及更高階振動(dòng)對(duì)整體影響較小，并考慮到液壓系統(tǒng)的控制頻率限制，只考慮前兩階振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。利用狀態(tài)空間表述系統(tǒng)振動(dòng)特性，針對(duì)不同的輸出量y，可通過改變C與D的值獲得。例如，獲得臂頭位置的位移(弧長(zhǎng))變化，則需令0，D=03實(shí)際算例根據(jù)現(xiàn)有某型號(hào)直臂吊車臂架參數(shù)，得到三節(jié)伸縮臂在全伸狀態(tài)下的前三階振。利用Simulink中的狀態(tài)空間模塊可快速獲得所需要的輸出量y。仿真時(shí)間設(shè)定為80s，輸入信號(hào)u(t)為臂架仰角θ的變化曲線。圖5所示為給定臂架仰角變化曲線，得到臂頭位置的角位移曲線，偏差是由于忽略了三階及以上的振型所致;圖6所示為臂頭位置的線速度變化曲線;

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