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(1)位置描述坐標(biāo)系一旦建立,對(duì)于世界坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)即可用任意一個(gè)31的位置矢量來(lái)描述。例如,如果對(duì)于一個(gè)確定的直角坐標(biāo)系A(chǔ),空間內(nèi)任意一點(diǎn)P的位置都可用731列矢量AP描述,則稱AP為P位置矢量:xAyz 其中,xp、yp、zp是點(diǎn)P在坐標(biāo)系中A的3個(gè)坐標(biāo)分量。AP的上標(biāo)A代表參考坐標(biāo)系A(chǔ)。我們稱AP為位置矢量。
(2)方位描述在空間中描述某個(gè)點(diǎn)的位置時(shí),為了準(zhǔn)確研究機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特性,在進(jìn)行坐標(biāo)系描述時(shí),通常還需要描述物體的方位。一般用固定于物體上的坐標(biāo)系來(lái)描述。我們通常選定與某剛體B固接的直接坐標(biāo)系B來(lái)描述空間中剛體B的方位。用直角坐標(biāo)系B的三個(gè)矢量Bx、By、Bz相對(duì)于參考坐標(biāo)系的方向余弦組成的33矩陣來(lái)表示剛體B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的方位:其中,ABR稱為旋轉(zhuǎn)矩陣,上標(biāo)A表示參考坐標(biāo)系A(chǔ),下標(biāo)B代表被描述的直角坐標(biāo)系B。每個(gè)矢量在參考系的中的投影分量稱為標(biāo)量,用ijr表示。
(3)位姿描述一般情況下,用剛體B與某一坐標(biāo)系B的固接來(lái)完全描述剛體B在空間中的位姿。通常坐標(biāo)系B的坐標(biāo)原點(diǎn)與其特征點(diǎn)重合,例如質(zhì)心。用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR和位置矢量ABoP來(lái)描述P點(diǎn)的空間位姿,為AABBoRP。則相應(yīng)的齊次坐標(biāo)變方程可由ABT來(lái)表示.
(4)末端執(zhí)行器坐標(biāo)系描述選定一個(gè)參考坐標(biāo)系A(chǔ),規(guī)定坐標(biāo)系與末端執(zhí)行器固聯(lián)來(lái)描述末端執(zhí)行器的位姿,稱為末端執(zhí)行器坐標(biāo)系T。末端執(zhí)行器坐標(biāo)系T的Z軸通常設(shè)在自己靠近物體的方向,稱為接近矢量a;末端執(zhí)行器兩端聯(lián)線方向即Y軸所在方向,稱為方向矢量o;X軸由右手法則確定:noa。ATRnoa因此末端執(zhí)行器的方向由旋轉(zhuǎn)矩陣式所規(guī)定,三個(gè)單位正交列矢量n、o、a描述了末端執(zhí)行器的位置和方位。而末端執(zhí)行器的位置由其坐標(biāo)系T的原點(diǎn)所約束,8用位置矢量P來(lái)表示。由四個(gè)矢量noap來(lái)表示末端執(zhí)行器的空間位姿:
齊次坐標(biāo)變換不同坐標(biāo)系中的描述不同。下面以點(diǎn)P為例闡述從一個(gè)坐標(biāo)系到另一個(gè)坐標(biāo)系描述之間的映射關(guān)系。(1)平移坐標(biāo)變換設(shè)坐標(biāo)系B與坐標(biāo)系A(chǔ)有著相同方位,不同的坐標(biāo)原點(diǎn)。若用位置矢量ABP描述坐標(biāo)系B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的位置,那么我們稱ABoP為坐標(biāo)系B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的平移矢量。若P點(diǎn)在坐標(biāo)B中的位置為BP,則點(diǎn)P相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的位置矢量AP可由兩者相加得出:ABAB. (2)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換若坐標(biāo)系B與坐標(biāo)系A(chǔ)有著共同的坐標(biāo)系原點(diǎn),不同的方位。用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR描述B相對(duì)于A的方位。同一點(diǎn)P在兩個(gè)不同的坐標(biāo)系A(chǔ)和B中的表示方法AP和BP具有如下變換關(guān)系:BX9AP=ABRBP(3)復(fù)合坐標(biāo)變換多數(shù)情況下,不同坐標(biāo)系B與A的原點(diǎn)不會(huì)重合,方位也不會(huì)相同。如果我們用位置矢量ABoP表示坐標(biāo)系B的原點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的位置,用旋轉(zhuǎn)矩陣ABR表示坐標(biāo)系B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的方位,那么對(duì)于任意一點(diǎn)P分別在坐標(biāo)系A(chǔ)和坐標(biāo)系B中的描述AP、BP具有以下關(guān)系 被叫做復(fù)合變換,實(shí)質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換和平移坐標(biāo)變換的復(fù)合變換。(4)齊次坐標(biāo)變換已知笛卡爾直角坐標(biāo)系中某點(diǎn)的坐標(biāo),該點(diǎn)在另一笛卡爾直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可以由齊次坐標(biāo)變換獲得。相對(duì)于BP是非齊次的,但可被轉(zhuǎn)換為齊次的變換形式:其中,我們用41的列向量描述了一個(gè)點(diǎn)的三維空間,叫做這個(gè)點(diǎn)的齊次坐標(biāo),用AP或BP表示?梢园焉鲜降葍r(jià)為以下矩陣形式:AP=ABBTp 的AP、BP皆為41的列向量,與(2.8)式中的維數(shù)不等,增加了第四個(gè)元素。ABT綜合表示了平移變換和旋轉(zhuǎn)變換。
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